| Sažetak | Kompleksna analiza je grana matematike sa sirokom primjenom, ne samo u teorijskoj
matematici, vec i u podrucjima poput zike i inzinjerstva. Dio rezultata kompleksne
analize vezan je uz pojam puta i pojam krivulje pri cemu se koriste i pojmovi poput
unutrasnjeg i vanjskog dijela ravnine odredenih tom krivuljom. O tome govori Jordanov
teorem. Jordanov teorem kaze da jednostavna zatvorena krivulja dijeli ravninu na dva
dijela, vanjski i unutrasnji dio. Naime, na primjer za kruznicu zadanu jednadzbom
x2 + y2 = 1, unutrasnji dio je otvoreni krug x2 + y2 < 1, a vanjski je dio x2 + y2 > 1.
Imajuci u vidu jednostavne primjere poput kruznice, rezultat djeluje ocito. Zapravo,
iskaz teorema cinio se toliko "ocit" da matematicari nisu ni uvidjeli potrebu da se tvrdnja
iznese kao teorem potkrijepljen dokazom sve dok Bolzano nije shvatio netrivijalnost
problema i sluzbeno ga predstavio kao teorem.
U radu je opisan dokaz za dva slucaja, prvi je onaj jednostavniji, kada je promatrana
krivulja poligonalna. Drugi slucaj obuhvaca dokaz za proizvoljnu jednostavnu
zatvorenu krivulju. Generalizacija dokaza na sve vrste krivulja je zahtjevna jer postoje
vrlo slozeni primjeri krivulja koje cemo i navesti u radu. Otkad je Jordan prvi
dao dokaz 1887. godine, teorem je dokazan vise puta razlicitim metodama, odnosno
problemu je pristupljeno na razne nacine u raznim granama matematike. Stovise, Jordanov
teorem smatra se jednim od rezultata u topologiji sa najvise dokaza. Neki su
od tih dokaza elementarniji, no zato su i poduzi s mnogo tehnickog raspisavanja, dok s
druge strane postoje i kraci i elegantniji dokazi za cije je razumijevanje potrebno poznavanje
algebarske topologije. Zbog svoje je vaznosti u kompleksnoj analizi i topologiji,
teorem bio u sredistu paznje mnogih matematicara prve polovice dvadesetog stoljeca
poput Alexandera, Antoinea, Bieberbacha, Brouwera, Denjoya, Hartogsa, Pringsheima
i Schoen
iesa. No, ovaj je teorem zaokupirao i suvremene matematicare poput Halesa.
U radu se ukratko opisuje i digitalna verzija Jordanovog teorema te kako se on
primjenjuje u obradi digitalne fotograje. |
